Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）陰影部分的面積為，理由詳見解析.

試題分析：本題考查了切線的判定與性質、垂徑定理以及扇形的面積.解題時首先根據已知切線應連接OD.（1）如圖，連接OD，只要求證OD⊥CE即可求解.由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數，又由S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD，即可求得答案．

試題解析：
（1）證明：連接OD
∵BC是⊙O的切線
∴∠ABC=90°
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∴∠ODC=∠ABC=90°
即OD⊥CD
∴CD為⊙O的切線
（2）解：在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD=．