Question

【題目】已知一元二次方程：

①若方程兩根為-1和2，則；

②若，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；

③若，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；

④若是方程的一個根，則一定有成立.

其中正確的是__________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

利用根與系數的關系判斷①；當時，舉例計算判別式的值可判斷②；由判別式可判斷③；將x=m代入方程得am2=-（bm+c），將am2=-（bm+c）代入（2am+b）2變形后的代數式化簡即可判斷④．

解：若方程兩根為-1和2，則，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正確；

若b＞a+c，舉一個例子如a=-1,b=-2,c=-4時，則△=b2-4ac=4-16=-12<0,

∴此時一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數根，故②錯誤；

若b=2a+3c，則=，

因為，所以，

一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，故③正確．

若m是方程ax2+bx+c=0的一個根，把m代入方程得am2+bm+c=0，

即am2=-（bm+c），
∵（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2

=4a[-（bm+c）]+4abm+b2
=-4abm-4ac+4abm +b2
=b2-4ac．

故④正確；

故答案為：①③④