Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE，DE，DF．

（1）證明：∠E＝∠C；

（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）110°．

【解析】

（1）連接AD，利用直徑所對的圓周角為直角，可得AD⊥BC，再根據CD＝BD，故AD垂直平分BC，根據垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，可得：AB＝AC，再根據等邊對等角和同弧所對的圓周角相等即可得到∠E＝∠C；

（2）根據內接四邊形的性質：四邊形的外角等于它的內對角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性質即可求出∠BDF.

（1）證明：連接AD，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵CD＝BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠B＝∠E，

∴∠E＝∠C；

（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，

∴∠AFD＝180°﹣∠E，

∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，

∴∠CFD＝∠E＝55°，

由（1）得：∠E＝∠C＝55°，

∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．