Question

【題目】連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線．

（1）四、五、六、n邊形對角線條數分別為 、 、 、 ．

（2）多邊形可以有12條對角線嗎？如果可以，求多邊形的邊數；如果不可以，請說明理由．

（3）若一個n邊形的內角和為1800°，求它對角線的條數．

（4）已知k-1邊形的對角線條數是,求k+1邊形的對角線條數（k>4）．

Answer 1

【答案】（1）2；5；9；；（2）沒有，見解析；（3）54；（4）.

【解析】

（1）根據多邊形對角線條數公式即可求出結論；
（2）假設可以，根據多邊形對角線條數公式，可得出關于n的一元二次方程，解之即可得出結論；
（3）根據多邊形內角和定理，可求出邊數，再根據多邊形對角線條數公式，即可得出結論．

（4）根據n邊形對角線的條數公式，把n換成k+1即可．

解：（1）四邊形對角線條數為：

五邊形對角線條數為：

六邊形對角線條數為：

n邊形對角線條數為：

故答案為：2；5；9；．

（2）假設有，設多邊形的邊數為n，則：

∴-3n-24=0，∴n=

∵n，且n為整數

∴沒有這樣的多邊形.

（3）∵一個n邊形的內角和為1800°，

∴180°×（n﹣2）=1800°，

解得：n=12，

∴．

答：這個多邊形有54條對角線．

（4）∵n邊形對角線條數為：

∴k+1邊形的對角線條數為：