Question

（2013年四川瀘州10分）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD²=CA•CB；

（2）求證：CD是⊙O的切線；

（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

   ∴△ADC∽△DBC，

∴，即CD²=CA•CB。

（2）證明：如圖，連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。∴∠1+∠3=90°。

∵OA=OD，∴∠2=∠3。∴∠1+∠2=90°。

又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°。∴OD⊥OA。

又∵OA是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線。

（3）如圖，連接OE，

∵EB、CD均為⊙O的切線，∴ED=EB，OE⊥DB。

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°。∴∠ABD=∠OEB。∴∠CDA=∠OEB。

∵tan∠CDA=，∴。

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴。

∵BC=12，∴CD=8。

在Rt△CBE中，設BE=x，

∴（x+8）²=x²+12²，解得x=5。

∴BE的長為5。

【解析】（1）通過相似三角形（△ADC∽△DBC）的對應邊成比例來證得結論。

（2）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OA即可。

（3）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應邊成比例列出關于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可。

考點：切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理。