Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，點D為直線BC上的一個動點（不與B、C重合），連結AD，將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°，使點A旋轉到點E，連結EC．

（1）如果點D在線段BC上運動，如圖1：
①依題意補全圖1；
②求證：∠BAD=∠EDC；
③通過觀察、實驗，小明得出結論：在點D運動的過程中，總有∠DCE=135°，．
小明與同學討論后，形成了證明這個結論的幾種想法：
想法一：在AB上取一點F，使得BF=BD，要證∠DCE=135°，只需證△ADF≌△DEC．
想法二：以點D為圓心，DC為半徑畫弧交AC于點F，要證∠DCE=135°，只需證△AFD≌△DCE．
想法三：過點E作BC所在直線的垂直線段EF，要證∠DCE=135°，只需證EF=CF．
…
請你參考上面的想法，證明∠DCE=135°
（2）如果點D在線段CB的延長線上運動，利用圖2畫圖分析，∠DCE的度數還是確定的值嗎？如果是，直接寫出∠DCE的度數；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖①所示；

②證明：∵∠B=90°，

∴∠BAD+∠BDA=90°，

∵∠ADE=90°，點D在線段BC上，

∴∠BAD+∠EDC=90°，

∴∠BAD=∠EDC；

②證法1：如圖1，在AB上取點F，使得BF=BD，連接DF，

∵BF=BD，∠B=90°，

∴∠BFD=45°，

∴∠AFD=135°，

∵BA=BC，

∴AF=CD，

在△ADF和△DEC中，

，

∴△ADF≌△DEC，

∴∠DCE=∠AFD=135°；

證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點F，連接DF，

∴DC=DF，∠DFC=∠DCF，

∵∠B=90°，AB=BC，

∴∠ACB=45°，∠DFC=45°，

∴∠DFC=90°，∠AFD=135°，

∵∠ADE=∠FDC=90°，

∴∠ADF=∠EDC，

在△ADF≌△CDE中， ，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠AFD=∠DCE=135°；

證法3：過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，

∴∠EFD=90°，

∵∠B=90°，

∴∠EFD=∠B，

在△ABD和△DFE中， ，

∴△ABD≌△DFE，

∴AB=DF，BD=EF，

∵AB=BC，

∴BC=DF，BC﹣DC=DF﹣DC，

即BD=CF，

∴EF=CF，

∵∠EFC=90°，

∴∠ECF=45°，∠DCE=135°；

（2）

解：解：∠DCE=45°，

理由：過E作EF⊥DC于F，

∵∠ABD=90°，

∴∠EDF=∠DAB=90°﹣∠ADB，

在△ABD和△DFE中， ，

∴△ABD≌△DFE，

∴DB=EF，AB=DF=BC，

∴BC﹣BF=DF﹣BF，

即FC=DB，

∴FC=EF，

∴∠DCE=45°．

【解析】（1）①根據題意作出圖形即可；②根據余角的性質得到結論；③證法1：如圖1，在AB上取點F，使得BF=BD，連接DF，根據等腰直角三角形的性質得到∠BFD=45°，根據全等三角形的性質得到∠DCE=∠AFD=135°；證法2：以D為圓心，DC為半徑作弧交AC于點F，連接DF，根據全等三角形的性質即可得到結論；證法3：過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）過E作EF⊥DC于F，根據全等三角形的性質得到DB=EF，AB=DF=BC，根據線段的和差得到FC=EF，于是得到結論．
【考點精析】利用全等三角形的性質和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．