Question

（2013•湖州二模）如圖，點P，Q分別是邊長為1cm的正方形ABCD的邊BC和對角線AC上的兩個動點，點P從B出發，朝BC方向運動，速度為1cm/s；點Q從從A出發，朝AC方向運動，速度為

2

cm/s，只要有一點運動到點C，兩點就停止動．設運動的時間為x（s），△APQ的面積為y（cm²）．
（1）求y關于x的函數解析式及自變量x的取值范圍；
（2）在運動過程中，能否使△APQ的面積為正方形ABCD的面積的六分之一？若能，求x值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點P作PE⊥AC于E，根據正方形的對角線平分一組對角求出∠ACB=45°，然后判斷出△PCE是等腰直角三角形，然后表示出PC，并根據等腰直角三角形的性質求出PE，再利用三角形的面積公式列式計算即可得到y與x的關系式，根據時間=路程÷速度分別求出點P、點Q到達點C的時間即可得到x的取值范圍；
（2）根據題意列出關于x的一元二次方程，然后利用根的判別式判定符合條件的點P、Q不存在．

解答：解：（1）如圖，過點P作PE⊥AC于E，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ACB=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∵點P的速度為1cm/s，
∴PC=1-x，
∴PE=

2

2

PC=

2

2

（1-x），
∵點Q的速度為

2

cm/s，
∴AQ=

2

x，
∴△APQ的面積為y=

1

2

AQ•PE=

1

2

•

2

x•

2

2

（1-x），
=-

1

2

x²+

1

2

x，
∵正方形的邊長為1，
∴AC=

2

×1=

2

，
∴點P運動是時間為1÷1=1，
點Q運動的時間為

2

÷

2

=1，
∴y=-

1

2

x²+

1

2

x（0≤x≤1）；

（2）根據題意得，-

1

2

x²+

1

2

x=

1

6

×1，
整理得，3x²-3x+1=0，
∵△=（-3）²-4×3×1=-3＜0，
∴方程沒有實數根，
∴這樣的點不存在．

點評：本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，根的判別式的應用，（1）作輔助線構造出等腰直角三角形并求出AQ邊上的高線是解題的關鍵，也是本題的難點．