Question

【題目】某農作物的生長率p與溫度t（℃）有如下關系：如圖，當10≤t≤25時可近似用函數p＝t﹣刻畫；當25≤t≤37時可近似用函數p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻畫．

（1）求h的值．

（2）按照經驗，該作物提前上市的天數m（天）與生長率p之間滿足已學過的函數關系，部分數據如下：

生長率p	0.2	0.25	0.3	0.35
提前上市的天數m（天）	0	5	10	15

求：①m關于p的函數表達式；

②用含t的代數式表示m．

③天氣寒冷，大棚加溫可改變農作物生長速度．大棚恒溫20℃時每天的成本為100元，計劃該作物30天后上市，現根據市場調查：每提前一天上市售出（一次售完），銷售額可增加600元．因此決定給大棚繼續加溫，但加溫導致成本增加，估測加溫到20≤t≤25時的成本為200元/天，但若欲加溫到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．問加溫到多少度時增加的利潤最大？并說明理由．（注：農作物上市售出后大棚暫停使用）

Answer 1

【答案】（1）29；（2）①m＝100p﹣20；②m＝ ；③29，理由見解析.

【解析】

（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4中，便可求得h；

（2）①由表格可知，m是p的一次函數，由待定系數法可解；

②分別求出當10≤t≤25時和當25≤t≤37時的函數解析式即可；

③分別求出當20≤t≤25時，增加的利潤和當25＜t≤37時，增加的利潤，然后比較兩種情況下的最大值，即可得結論．

解：（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4得：0.3＝﹣（25﹣h）2+0.4，

解得：h＝29或h＝21，

∵25≤t≤37

∴h＝29．

（2）①由表格可知，m是p的一次函數，

設m＝kp+b，

把（0.2，0），（0.3，10）代入得

解得

∴m＝100p﹣20．

②當10≤t≤25時，p＝t﹣，

∴m＝100（t﹣）﹣20＝2t﹣40；

當25≤t≤37時，p＝﹣（t﹣h）2+0.4

∴m＝100[﹣（t﹣h）2+0.4]﹣20＝（t﹣29）2+20，

∴m＝

③當20≤t≤25時，增加的利潤為：

600m+[100×30﹣200（30﹣m）]＝800m﹣3000＝1600t﹣35000，

當t＝25時，增加的利潤的最大值為1600×25﹣35000＝5000元；

當25＜t≤37時，增加的利潤為：

600m+[100×30﹣400（30﹣m）]＝1000m﹣9000＝﹣625（t﹣29）2+11000

∴當t＝29時，增加的利潤的最大值為11000元．

綜上，當t＝29時，提前20天上市，增加的利潤最大，最大值為11000元．