Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：
①∠AED=∠CED；
②OE=OD；
③BH=HF；
④BC﹣CF=2HE；
⑤AB=HF．
其中正確的有（ ）

A.①②③④⑤
B.①②③④
C.①③④⑤
D.①②③⑤

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB，
∵AD= AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，

∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正確；
∵AB=AH，
∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對頂角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正確；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，

∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正確；
∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，
∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正確；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等邊三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤錯誤；
綜上所述，結論正確的是①②③④，
故選B．