Question

【題目】閱讀下面的情景對話，然后解答問題：

老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

小華：等邊三角形一定是奇異三角形!

小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且c＞b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓 中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE＝AD，CB＝CE．

①求證：△ACE是奇異三角形：

②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

Answer 1

【答案】（1）真命題，理由見解析；（2）；（3）①見解析；②∠AOC的度數為60°或120°

【解析】

（1）根據“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質，求證即可；
（2）根據勾股定理與奇異三角形的性質，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質即可證得；
②利用（2）中的結論，分別從AC：AE：CE=1：；與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結果．

（1）設等邊三角形的一邊為a，則a2+a2＝2a2，

∴符合奇異三角形”的定義．

∴是真命題；

（2）∵∠C＝90°，

則a2+b2＝c2①，

∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，

∴a2+c2＝2b2②，

由①②得：b＝a，c＝a，

∴a：b：c＝1：；；

（3）∵①AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，

在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，

∵點D是半圓弧ADB的中點，

∴弧AD=弧BD，

∴AD＝BD，

∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，

∴AC2+CB2＝2AD2，

又∵CB＝CE，AE＝AD，

∴AC2+CE2＝2AE2，

∴△ACE是奇異三角形；

②由①可得△ACE是奇異三角形，

∴AC2+CE2＝2AE2，

當△ACE是直角三角形時，

由（2）得：AC：AE：CE＝1：或AC：AE：CE＝：：1，

當AC：AE：CE＝1：時，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°；

當AC：AE：CE＝：：1時，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝120°．

∴∠AOC的度數為60°或120°．