Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD=45°.

(1)若AB=4，求弧CD的長.

(2)若弧BC=弧AD，AD=AP. 求證：PD是⊙O的切線.

Answer 1

【答案】（1）π；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）連接OC，OD，由圓周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根據弧長公式即可得到結論；
（2）由已知條件得到∠BOC=∠AOD，由圓周角定理得到∠AOD=45°，根據等腰三角形的性質得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到結論．

試題解析：(1)連接OC，OD，

∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°

∴∠COD=90°

∵AB=4 ∴

∴的長

(2)∵ ∴∠BOC=∠AOD，

∵∠COD=90°，∴∠AOD=

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180° ∴∠ODA= ，

∵AD=AP， ∴∠ADP=∠APD

∵∠CAD=∠ADP+∠APD， ∠CAD=45°，

∴∠ADP=∠CAD=22.5°，

∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°

又∵OD是半徑，∴PD是⊙O的切線