Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于，對稱軸是直線，與軸交于點．若點，同時從點出發，都以每秒個單位長度的速度分別沿，邊運動．

（1）求該二次函數的解析式及點的坐標，與軸的另一個交點的坐標．

（2）當，運動到秒時，沿翻折，點恰好落在軸上點處，請判定此時四邊形的形狀，并求出點坐標．

（3）當點運動到對稱軸與的交點時，點往回運動，同時點則倍的速度繼續沿運動，在整個運動過程中，以點，，為頂點的三角形面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

（4）在段的拋物線上有一點到線段的距離最大，請求出這個最大距離．

Answer 1

【答案】(1) 二次函數的解析式為；點的坐標為；點坐標為；（2）為菱形，點的坐標為；（3）最大值；（4）最大距離為．

【解析】

(1)利用待定系數法求出二次函數的解析式,進而求得點C和點A的坐標．

(2)先證明AMDN為菱形,再由菱形的性質得出OM∥AN,進而證明,利用對應邊成比例求出OD的值,即可求出D的坐標．

(3)①當M沿AB方向運動時,作輔助線證明,利用對應邊成比例求線段進而求出面積;②當點M沿BA方向運動時, 同樣證明,利用對應邊成比例求出線段進而求出面積．

(4)通過一次函數的解析式設出R點坐標, 過點作于點,過點作軸的垂線段得出N點坐標,由相似對應邊成比例求出RG為二次函數,利用二次函數的最值解出即可．

解：（1）由已知，得，解得

所以二次函數的解析式為．

由對稱軸以及點的坐標，可得點的坐標為．

將代人拋物線方程，得，所以點坐標為．

（2）如圖1，因為四邊形的四條邊相等，所以為菱形，所以．

，，由，得，即

解得．又，，解得，點的坐標為．

圖1

（3）①當點沿方向運動時，過做垂直于點，如圖2．

則，由，得．

即，，，此時當時，面積取最大值．

圖2

②當點沿方向運動時，如圖3設返回時的時間為，同樣，，，

此時，

當時，取得最大值

綜合①②可知，點運動的整個過程，當時間為時，取得最大值．

圖3

（4）求得

設此段拋物線上一點的坐標為，過點作于點，

過點作軸的垂線段，交于點，則點的坐標為，

點的坐標為，

，

由，得，

由，得，，

得．

當時，取最大值為．

圖4