Question

已知正方形ABCD的邊長AB=k（k是正整數），正△PAE的頂點P在正方形內，頂點E在邊AB上，且AE="1." 將△PAE在正方形內按圖1中所示的方式，沿著正方形的邊AB、BC、CD、DA、AB、……連續地翻轉n次，使頂點P第一次回到原來的起始位置.
（1）如果我們把正方形ABCD的邊展開在一直線上，那么這一翻轉過程可以看作是△PAE在直線上作連續的翻轉運動. 圖2是k=1時，△PAE沿正方形的邊連續翻轉過程的展開示意圖. 請你探索：若k=1，則△PAE沿正方形的邊連續翻轉的次數n=      時，頂點P第一次回到原來的起始位置.

（2）若k=2，則n=      時，頂點P第一次回到原來的起始位置；若k=3，則n=      時，頂點P第一次回到原來的起始位置.
（3）請你猜測：使頂點P第一次回到原來的起始位置的n值與k之間的關系（請用含k的代數式表示n）.

Answer 1

（1）12次      
（2）24次；12次
（3）當k是3的倍數時，n=4k；當k不是3的倍數時，n=12k.

正△PAE的頂點P在正方形內按圖1中所示的方式連續地翻轉，頂點P第一次回到原來的起始位置，實際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數，由此求出k=1，2，3時n的值；故當k是3的倍數時，n=4k；當k不是3的倍數時，n=12k．