Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，CD切⊙O于點E，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結論：①OD2=DECD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CDOA；⑤∠DOC=90°；⑥若切點E在半圓上運動（A、B兩點除外），則線段AD與BC的積為定值．其中正確的個數是（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：連接OE，如圖所示： ∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確；
∴S梯形ABCD= （AD+BC）AB=CDOA；選項④正確；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項⑤正確；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴ = ，即OD2=DCDE，選項①正確；
同理△ODE∽△OEC，
∴ ，
∴OD≠OC，選項③錯誤；
∵∠COD=90°，OE⊥CD，
∴OE2=CEDE，
∵DA=DE，CE=CB，
∴ADBC=OE2 ，
∴線段AD與BC的積為定值，故⑥正確．
故選A．