Question

【題目】如圖，點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線于點C，E為BC的中點，連接DE交BA的延長線于點F.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若OA=AF，DF=4,求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OD，BD，由切線的性質(zhì)可得∠OBC=90°，利用等邊對等角可得∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，易證∠ODE=∠OBC=90°，可得結(jié)論；

（2）通過證明,可知∠FOD=60°，易知∠F=30°，由此可知OD、OF間的關系，設OD=x,則OF=2x，在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理可得OD的長，由可得解.

（1）證明：連接OD，BD，

∵CB是⊙O的切線，

∴BC⊥OB，∴∠OBC=90°.

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠ADB+∠CDB =180°，

∴∠CDB =90°

∵E是BC的中點，

∴ED=EB=BC，∴∠EDB=∠EBD.

∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，

∴∠ODE=∠OBC=90°,

∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知∠ODF=90°，

∵OA=AF，∴,

∵∴

∵OA=OD

∴∴∠FOD=60°，

∵∠FOD+∠F =90°，∴∠F=30°，

設OD=x,則OF=2x，

在Rt△ODF中，由得，

解得x=

∴.

∴陰影部分面積為.