Question

【題目】數學研究課上，老師帶領大家探究《折紙中的數學問題》時，出示如圖1所示的長方形紙條，其中，．然后在紙條上任意畫一條截線段，將紙片沿折疊，與交于點，得到．如圖2所示：

探究：

（1）若，______°；

（2）改變折痕位置，始終是______三角形，請說明理由；

應用：

（3）愛動腦筋的小明在研究的面積時，發現邊上的高始終是個不變的值．根據這一發現，他很快研究出的面積最小值為，此時的大小可以為______°；

（4）小明繼續動手操作，發現了面積的最大值．請你求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）等腰，證明詳見解析；（3）或；（4）面積的最大值為

【解析】

（1）根據矩形的性質和折疊的性質求出∠KNM，∠KMN的度數，根據三角形內角和即可求解；

（2）利用翻折變換的性質以及兩直線平行內錯角相等得出KM=KN；

（3）分兩種情況討論：①如圖2，利用當△KMN的面積最小值為時，KN=BC=1，故KN⊥B'M，得出∠1=∠NMB=45°；②如圖2（2），當△KMN的面積最小值為時，KN=KM=BC=1，故KM⊥B'M．由折疊的性質和周角的定義即可得出結論；

（4）分情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC兩種情況討論求解．

（1）如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1．

∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，∴∠MKN=40°．

故答案為：40；

（2）等腰．理由如下：

∵AB∥CD，∴∠1=∠MND．

∵將紙片沿MN折疊，∴∠1=∠KMN，∴∠MND=∠KMN，∴KM=KN．

故答案為：等腰；

（3）分兩種情況討論：①如圖2，當△KMN的面積最小值為時，KN=BC=1，故KN⊥B'M．

∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，∴∠1=∠NMB=45°．

②如圖2（2），當△KMN的面積最小值為時，KN=KM=BC=1，故KM⊥B'M．

∵∠NMB=∠NMB'，∠BMB'=90°，∴∠1=∠NMB=（360°－90°）÷2=135°．

故答案為：45°或135°；

（4）分兩種情況：

情況一：如圖3，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合．

MK=MB=x，則AM=5﹣x．

由勾股定理得：12+（5﹣x）2=x2，

解得：x=2.6，∴MD=ND=2.6．

S△MNK=S△MND1×2.6=1.3．

情況二：如圖4，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC．

MK=AK=CK=x，則DK=5﹣x．

同理可得：MK=NK=2.6．

∵MD=1，∴S△MNK1×2.6=1.3．

△MNK的面積最大值為1.3．