Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是AD邊上的動點，從點A開始沿AD向D運動．以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，EF交DC于點H，連接CG、BH．請探究：

（1）線段AE與CG是否相等？請說明理由．

（2）若設AE=x，DH=y，當x取何值時，y最大？最大值是多少？

（3）當點E運動到AD的何位置時，△BEH∽△BAE？

Answer 1

【答案】（1）AE=CG，見解析；（2）當x=1時，y有最大值，為；（3）當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE，見解析.

【解析】

(1)由正方形的性質可得AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，由“SAS”可證△ABE≌△CBG，可得AE=CG；

(2)由正方形的性質可得∠A=∠D=∠FEB=90°，由余角的性質可得∠ABE=∠DEH，可得△ABE∽△DEH，可得，由二次函數的性質可求最大值；

(3)當E點是AD的中點時，可得AE=1，DH=，可得，且∠A=∠FEB=90°，即可證△BEH∽△BAE．

(1)AE=CG，理由如下：

∵四邊形ABCD，四邊形BEFG是正方形，

∴AB=BC，BE=BG，∠ABC=∠EBG=90°，

∴∠ABE=∠CBG，且AB=BC，BE=BG，

∴△ABE≌△CBG(SAS)，

∴AE=CG；

(2)∵四邊形ABCD，四邊形BEFG是正方形，

∴∠A=∠D=∠FEB=90°，

∴∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEH=90°，

∴∠ABE=∠DEH，

又∵∠A=∠D，

∴△ABE∽△DEH，

∴，

∴

∴=，

∴當x=1時，y有最大值為；

(3)當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE，

理由如下：

∵E是AD中點，

∴AE=1，

∴

又∵△ABE∽△DEH，

∴，

又∵，

∴，且∠DAB=∠FEB=90°，

∴△BEH∽△BAE.