Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C，動點P從點A出發，以每秒 個單位的速度沿線段AD向點D運動，運動時間為t秒，過點P作PE⊥x軸交拋物線于點M，交AC于點N．

（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，△ACM的面積最大？最大值為多少？
（3）點Q從點C出發，以每秒1個單位的速度沿線段CD向點D運動，當t為何值時，在線段PE上存在點H，使以C，Q，N，H為頂點的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）A（1，4），

由題意知，可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4

∵拋物線過點C（3，0），

∴0=a（3﹣1）2+4，

解得a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：如圖1，

∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵點P（1+ ，4）．

∴將x=1+ 代入y=﹣2x+6中，解得點N的縱坐標為y=4﹣t，

∴把x=1+ ，代入拋物線的解析式中，可求點M的縱坐標為4﹣ ，

∴MN=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，

又點A到MN的距離為 ，C到MN的距離為2﹣ ，

即S△ACM=S△AMN+S△CMN= ×MN× + ×MN×（2﹣ ）

= ×2（t﹣ ）=﹣ （t﹣2）2+1．

當t=2時，S△ACM的最大值為1．

（3）

解：由題意和（2）知，（3，0），Q（3，t），N（ ，4﹣t），AB=4，

AG=4﹣（4﹣t）=t，BG=4﹣t，可求AC= ，

當H在AC上方時，如圖2，過點N作NG⊥AB，

由四邊形CQNH是菱形，可知：CQ=CN=t，

此時，AN= ﹣t，NG∥BC，

∴ ，

，

解得：t=20﹣ ，

當點H在AC下方時，如圖3，

由四邊形CQNH是菱形，可知：CH=HN=CQ=t，

∴HE=4﹣t﹣t=4﹣2t，EC=2﹣ ，

在直角三角形CHE中，CE2+HE2=CH2，

∴ ，

解得t= 或t=4（舍去），

所以，以C，Q，N，H為頂點的四邊形為菱形時，t= 或t=20﹣8 ．

【解析】（1）根據矩形的性質可以寫出點A的坐標；由頂點A的坐標可設該拋物線的頂點式方程為y=a（x﹣1）2+4，然后將點C的坐標代入，即可求得系數a的值；（2）利用待定系數法求得直線AC；由圖形與坐標變換可以求得點P的坐標，進一步表示點M，N的坐標，得出面積關于t的二次函數，由二次函數的最值可以求解；（3）因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形，所以點H在直線EF上，分CH是邊和對角線兩種情況討論即可．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質和矩形的性質是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．