Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點A(-3,2),B(0,-2)其對稱軸為直線x= ，C(0, )為y軸上一點，直線AC與拋物線交于另一點D，

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點F使△ADF是直角三角形，如果存在，求出點F的坐標，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-2 ;（2）存在.F點坐標為（ ，13）,（，）或（，-）,（，-7）.

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）先利用待定系數法求出直線AC的解析式，再和拋物線的解析式聯立組成方程組求出點D的坐標，設F（，m），然后根據兩點間的距離公式分別表示出AD2、AF2、DF2，再分三種情況根據勾股定理列出方程，解方程即可求得結果.

解：（1）由題意得：，解得，

∴拋物線的解析式為y=x2－x－2 ；

（2）存在點F使△ADF是直角三角形.

設直線AC的解析式為：，把A(－3，2)、C(0，)代入，得，解得：，∴直線AC的解析式為：，

聯立方程組，解得：，，∴點D坐標為（5，－2），

設F（，m），AD2=(5+3)2+(－2－2)2=80，AF2=(+3)2+(m－2)2，DF2=(5－)2+(m+2)2，

當AD2+DF2=AF2時，△ADF是直角三角形，則80+(5－)2+(m+2)2=(+3)2+(m－2)2，

解得m=－7，此時F點坐標為（，－7）；

當DF2+AF2=AD2時，△ADF是直角三角形，則(5－)2+(m+2)2+(+3)2+(m－2)2=80，

解得m=±，∴F點坐標為（，）或（，－）；

當AD2+AF2=DF2時，△ADF也是直角三角形，則80+(+3)2+(m－2)2=(5－)2+(m+2)2，

解得：m=13，∴F點坐標為（，13）.

綜上，在拋物線的對稱軸上存在點F，使△ADF是直角三角形，且F點坐標為（，13）或（，）或（，－）或（，－7）.