Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，AM為BC邊的中線，點D在邊AC上，聯結BD交AM于點F，延長BD至點E，使得＝，聯結CE．

求證：（1）∠ECD＝2∠BAM；

（2）BF是DF和EF的比例中項．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質可得∠BAC＝2∠BAM，通過證明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；

（2）由等腰三角形的性質可得BF＝CF，通過證明△DCF∽△CEF，可得，可得結論．

證明：（1）∵AB＝AC，AM為BC邊的中線，

∴∠BAC＝2∠BAM，

∵＝，∠ADB＝∠CDE，

∴△ADB∽△CDE，

∴∠BAC＝∠ECD，

∴∠ECD＝2∠BAM；

（2）如圖，連接CF，

∵AB＝AC，AM為BC邊的中線，

∴AM是BC的垂直平分線，

∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，

∵△ABF≌△ACF（SSS）

∴∠ABF＝∠ACF，

由（1）可知：△ADB∽△CDE，

∴∠ABF＝∠E，

∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，

∴△DCF∽△CEF，

∴，且BF＝CF，

∴BF2＝DFEF，

∴BF是DF和EF的比例中項．