Question

【題目】已知射線AC是∠MAN的角平分線， ∠NAC=60°, B, D分別是射線AN. AM上的點，連接BD.

(1)在圖①中，若∠ABC=∠ADC=90°,求∠CDB的大小；

(2)在圖②中，若∠ABC+∠ADC=180°,求證：四邊形ABCD的面積是個定值.

Answer 1

【答案】(1)∠CDB=60°.(2)見解析

【解析】

（1）利用四邊形的內角和即可得出∠BCD的度數，再利用角平分線的性質定理即可得出CD=CB，△BCD是等邊三角形,即可求解；
（2）先判斷出∠CDE=∠ABC，進而得出△CDE≌△CBF（AAS），再根據分割面積法證明四邊形ABCD的面積是定值即可．

(1)∵射線AC是∠MAN的角平分線,∠NAC=60°，

∴∠MAN=120°，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

根據四邊形的內角和得,∠BCD=360°(∠ABC+∠ADC+∠MAN)=60°，

∵AC是∠MAN的平分線，CD⊥AM.CB⊥AN，

∴CD=CB(角平分線的性質定理)，

∴△BCD是等邊三角形；

∴∠CDB=60°.

(2)如圖②,同(1)得出,∠BCD=60°，

過點C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，

∵AC是∠MAN的平分線，

∴CE=CF，

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°，

∴∠CDE=∠ABC，

在△CDE和△CFB中，

∴△CDE≌△CBF(AAS)，

S四邊形ABCD

∴四邊形ABCD的面積是個定值.