Question

【題目】如圖，已知與相交于，平分，若，，連接，且.

（1）求證：；

（2）連接，判斷的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△NBD是等邊三角形，理由見解析．

【解析】

（1）過N作NE⊥AB于E，NF⊥CD于F.根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得到NE=NF，根據"HL"證明Rt△AEN≌Rt△CFN，根據全等三角形對應角相等即可得出結論.

（2）設CD、NB相交于點P.證明△ANB≌△CND，根據全等三角形對應角相等、對應邊相等得到∠NBA=∠NDC，NB=ND.根據對頂角相等得到∠AOC=60°.在△OPB和△NPD中，利用三角形內角和為180°，可得到∠PND=60°.根據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出結論.

（1）過N作NE⊥AB于E，NF⊥CD于F.

∵ON平分∠AOD，NE⊥AB，NF⊥CD，

∴NE=NF，∠AEN=∠CFN=90°.

在Rt△AEN和Rt△CFN中，

∵AN=CN，NE=NF，

∴Rt△AEN≌Rt△CFN(HL)，

∴∠A=∠C.

（2）△NBD是等邊三角形.理由如下：

設CD、NB相交于點P.

在△ANB和△CND中，∵AN=CN，∠A=∠C，AB=CD，

∴△ANB≌△CND(SAS)，

∴∠NBA=∠NDC，NB=ND.

∵∠AOC=60°，

∴∠POB=∠AOC=60°.

在△OPB和△NPD中，

∵∠OPB=∠NPD，∠NBA=∠NDC，

∴∠POB=∠PND=60°.

∵NB=ND，∠BND=60°，

∴△NBD是等邊三角形.