Question

【題目】如圖，E、F是ABCD對角線AC上兩點，且AE=CF．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
（2）如果把條件AE=CF改為BE⊥AC，DF⊥AC，試問四邊形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？
（3）如果把條件AE=CF改為BE=DF，試問四邊形BFDE還是平行四邊形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一：∵ABCD是平行四邊形

∴AB=CD 且AB∥CD（平行四邊形的對邊平行且相等）

∴∠BAE=∠DCF

又∵AE=CF

∴△BAE≌△DCF（SAS）

∴BE=DF，∠AEB=∠CFD

∴∠BEF=180°﹣∠AEB∠DFE=180°﹣∠CFD

即：∠BEF=∠DFE

∴BE∥DF，而BE=DF

∴四邊形BFDE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

證法二：連接BD，交AC于點O．

∵ABCD是平行四邊形

∴OA=OC OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分）

又∵AE=CF

∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF

∴四邊形BFDE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

（2）解：四邊形BFDE是平行四邊形

∵ABCD是平行四邊形

∴AB=CD 且AB∥CD（平行四邊形的對邊平行且相等）

∴∠BAE=∠DCF

∵BE⊥AC，DF⊥AC

∴∠BEA=∠DFC=90°，BE∥DF

∴△BAE≌△DCF（AAS）

∴BE=DF

∴四邊形BFDE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

（3）解：四邊形BFDE不是平行四邊形

因為把條件AE=CF改為BE=DF后，不能證明△BAE與△DCF全等

【解析】（1）方法一：證明△BAE≌△DCF，推出BE=DF，BE∥DF即可．方法二：連接BD，交AC于點O．只要證明OE=OF，OB=OD即可；（2）是平行四邊形．只要證明△BAE≌△DCF即可解決問題；（3）四邊形BFDE不是平行四邊形．因為把條件AE=CF改為BE=DF后，不能證明△BAE與△DCF全等；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．