Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，其頂點記為，自變量和對應的函數值相等．若點在直線：上，點在拋物線上．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設對稱軸右側軸上方的圖象上任一點為，在軸上有一點，試比較銳角與的大小（不必證明），并寫出相應的點橫坐標的取值范圍；

（3）直線與拋物線另一點記為，為線段上一動點（點不與重合）．設點坐標為，過作軸于點，將以點，，，為頂點的四邊形的面積表示為的函數，標出自變量的取值范圍，并求出可能取得的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=4x2﹣16x+8；（2）當x=時，∠PCO=∠ACO，當2+＜x＜時，∠PCO＜∠ACO，當＜x＜4時，∠PCO＞∠ACO；（3）祥見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件得到拋物線的對稱軸為x=2．設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到結論；

（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），如圖，當∠PCO=∠ACO時，過P作PH⊥y軸于H，設CP的延長線交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA= ，根據相似三角形的性質得到x= ，過C作CE∥x軸交拋物線與E，則CE=4，設拋物線與x軸交于F，B，則B（2+ ，0），于是得到結論；

（3）解方程組得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①當﹣1≤t＜0時，②當0＜t＜ 時，③當＜t＜2時，求得二次函數的解析式即可得到結論．

試題解析：（1）∵自變量x=﹣1和x=5對應的函數值相等，∴拋物線的對稱軸為x=2．

∵點M在直線l：y=﹣12x+16上，∴yM=﹣8．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．

∴拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．

（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），

如圖，當∠PCO=∠ACO時，過P作PH⊥y軸于H，設CP的延長線交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，

∴OD=OA= ，∵P點的橫坐標是x，∴P點的縱坐標為4x2﹣16x+8，

∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴ ，∴x=，

過C作CE∥x軸交拋物線與E，則CE=4，

設拋物線與x軸交于F，B，則B（2+ ，0），∴y=ax2+bx+c對稱軸右側x軸上方的圖象上任一點為P，

∴當x=時，∠PCO=∠ACO，

當2+＜x＜時，∠PCO＜∠ACO，

當＜x＜4時，∠PCO＞∠ACO；

（3）解方程組 ，解得： ，∴D（﹣1，28），

∵Q為線段BM上一動點（點Q不與M重合），∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①當﹣1≤t＜0時，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，

∵﹣1≤t＜0，∴當t=-1時，S最大=18；

②當0＜t＜時，S=t8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，

∵0＜t＜，∴當t=1時，S最大=6；

③當＜t＜2時，S=t8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，

∵＜t＜2，∴此時S=16為最大值．