Question

【題目】閱讀理解：

若一個整數能表示成a2+b2（a、b是整數）的形式，則稱這個數為“平和數”，例如5是“平和數”，因為5＝22+1，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x， y是整數），我們稱M也是“平和數”．

（1）請你寫一個小于5的“平和數”，并判斷34是否為“平和數”．

（2）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整數，k是常數，要使S為“平和數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．

（3）如果數m，n都是“平和數”，試說明也是“平和數”．

Answer 1

【答案】（1）2（答案不唯一），是；（2）10，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用“平和數”的定義可得；

（2）利用配方法，將S配成平和數，可求k的值；

（3）根據完全平方公式，可證明也是“平和數”．

（1）∵2=12+12

∴2是平和數

∵34=52+32

∴34是平和數

（2）∵S=x2+9y2+6x-6y+k=（x+3）2+（3y-1）2+k-10

∴k=10時，S是平和數

（3）設m=a2+b2，n=c2+d2

∴=mn=（a2+b2）（c2+d2）

=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd

∴mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2

∴mn是平和數

∴也是“平和數”．