Question

【題目】已知：矩形，點在的延長線上，連接，，且，的平分線交于點．

（1）如圖1，求的大小；

（2）如圖2，過點作交的延長線于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，交于點，點為的中點，連接交于點，點在上，且，連接，且．延長交于點，連接，若的周長與的周長的差為2，求的長．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）令，由矩形的性質可得，由三角形外角性質和角平分線的性質可得，從而求出∠BFC的大小；

（2）過點作于點，過點作交的延長線于點，先證明，再證，從而證明；

（3）延長交于點，先證明，得到，再證，得，根據的周長與的周長的差為2，求出，設，則，，在中和中，根據勾股定理求出a的值，從而求出MN的長度.

（1）解：如圖，令，

∴四邊形是矩形，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵平分，

∴，

∴；

（2）證明：如圖，過點作于點，過點作交的延長線于點，

∵四邊形是矩形，

∴， ，

∵，

∴，

∵，

∴ ，

∴，

在四邊形中， ，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（3）解：如圖，延長交于點，

∵四邊形是矩形，

∴，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵為中點，

∴，

∴ ，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵，，，

∴ ，

∴ ，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

又∵的周長與的周長的差為2，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

設，則，，

∴，

在中，，

在中，，

∴解得，（舍），

∴，，

∴，

∴，，

∴.