Question

【題目】如圖，已知直線a // b，點A、E在直線a上，點B、F在直線b上，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直線a于點D，線段EF在線段AB的左側.若將線段EF沿射線 AD的方向平移，在平移的過程中BD所在的直線與 EF所在的直線交于點P．試探索 ∠1的度數與∠EPB的度數有怎樣的關系？

為了解決以上問題，我們不妨從EF的某些特殊位置研究，最后再進行一般化.

（特殊化）

（1）如圖，當∠1＝40°，且點P在直線a、b之間時，求∠EPB的度數；

（2）當∠1＝70 °時，求∠EPB的度數；

（一般化）

（3）當∠1＝n°時，求∠EPB的度數.（直接用含n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）170°（2）見解析（3）①見解析②見解析

【解析】

（1）作PG∥a，根據平行線性質和角平分線性質可得∠GPB=180°－∠ABC=130°，計算即可；（2）作PG∥a，結合畫圖，分3種情況當交點P在直線a上方，∠EPB＝20°；當交點P在直線a、b之間，∠EPB＝160°；當交點P在直線b下方，∠EPB＝20°；（3）根據（1）（2）情況，分2種情況①當n＞50°時；②當n＜50°時，各有3種情況.

（1）作PG∥a，

∴∠EPG＝∠EFC=400

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠GPB＋∠CBD=1800

又∵BD是∠ABC平分線，且∠ABC=1000，

∴∠GPB=1800－∠ABC=1300

∴∠EPB＝∠EPG＋∠GPB=1700

（2）①當交點P在直線a上方，作PG∥a，

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠EPG=∠1, ∠GPB=∠DBC

∴∠EPB＝700－500=200

②當交點P在直線a、b之間，作PG∥a，

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠GPB=∠PBC=∠ABC=500,∠BFE＝∠EPG=1800-∠1

∴∠EPB＝∠EPG＋∠GPB=500+1800-∠1=2300－700=1600

③當交點P在直線b下方，作PG∥a，

∵a∥b

∴PG∥b

∴∠EPG=∠1, ∠GPB=∠DBC

∴∠EPB＝700－500=200

（3）由（1）（2）得：①當n＞500時，

交點P在直線a上方，∠EPB＝n－500

交點P在直線a、b之間，∠EPB＝2300－n

交點P在直線b下方，∠EPB＝n－500

②當n＜500時，

交點P在直線a上方，∠EPB＝500－n

交點P在直線a、b之間，∠EPB＝1300＋n

交點P在直線b下方，∠EPB＝500－n