Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，點P為CB延長線上點，連接DP交AC于點M、交AB于點N，已知DA＝DC，∠ACD＝45°．

（1）求證：四邊形ABCD為正方形；

（2）連接BM，若N為AB的中點，求tan∠BMP的值；

（3）若MN＝2，PN＝6，求DM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）4

【解析】

（1）有1個角為90°的菱形為正方形.

（2）證明△BPN≌△AND，然后用相似三角形性質求解

（3）MD2＝MNMP

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，DA＝DC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∵DA＝DC，

∴∠ACD＝∠CAD＝45°，

∴∠ADC＝90°，

∴四邊形ABCD為正方形；

（2）解：作BE⊥PD，如圖所示：

則∠PEB＝∠MEB＝90°，

設正方形ABCD的邊長為a，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝AD＝a，∠PBN＝∠DAB＝∠BCD＝90°，

∵N為AB的中點，

∴AN＝BN＝AB＝a，

在△BPN和△ADN中，，

∴△BPN≌△ADN（ASA），

∴BP＝AD＝a，PN＝DN＝＝＝a，PC＝BP+BC＝2a，

∴PD＝2DN＝a，

∵AD∥BC，

∴△ADM∽△CPM，

∴，

∴，

∵∠PEB＝∠PCD＝90°，∠P＝∠P，

∴△PBE∽△PDC，

∴，即，

解得：，

∴

∴

（3）解：MN＝2，PN＝6，

∴MP＝8，

∵AB∥CD，

∴AM：MC＝MN：MD，

∵AD∥BC，

∴AM：MC＝DM：MP，

∴MN：MD＝DM：MP，

∴MD2＝MNMP＝2×8＝16，

∴MD＝4．