Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，函數y＝（x＞0）的圖象G經過點A（4，1），直線l：y＝+b與圖象G交于點B，與y軸交于點C．

（1）求k的值；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．記圖象G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區域（不含邊界）為W．

①當b＝﹣1時，直接寫出區域W內的整點個數；

②若區域W內恰有4個整點，結合函數圖象，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)4;(2) ①區域W內的整點有（1，0），（2，0），（3，0），有3個；②區域W內恰有4個整點，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．

【解析】

（1）把A（4，1）代入中可得k的值；
（2）直線OA的解析式為：，可知直線l與OA平行，
①將b=-1時代入可得：直線解析式為，畫圖可得整點的個數；
②分兩種情況：直線l在OA的下方和上方，畫圖計算邊界時點b的值，可得b的取值．

（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；

（2）①當b＝﹣1時，直線解析式為y＝x﹣1，

解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，則B（2+2，），

而C（0，﹣1），

如圖1所示，區域W內的整點有（1，0），（2，0），（3，0），有3個；

②如圖2，直線l在OA的下方時，當直線l：y＝+b過（1，﹣1）時，b＝﹣，且經過（5，0），

∴區域W內恰有4個整點，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1．

如圖3，直線l在OA的上方時，

∵點（2，2）在函數y＝（x＞0）的圖象G，

當直線l：y＝+b過（1，2）時，b＝，

當直線l：y＝+b過（1，3）時，b＝，

∴區域W內恰有4個整點，b的取值范圍是＜b≤．

綜上所述，區域W內恰有4個整點，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．