Question

【題目】如圖，點E為矩形ABCD中AD邊中點，將矩形ABCD沿CE折疊，使點D落在矩形內部的點F處，延長CF交AB于點G，連接AF．

（1）求證：AF∥CE；

（2）探究線段AF，EF，EC之間的數量關系，并說明理由；

（3）若BC＝6，BG＝8，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）

【解析】（1）由對稱的性質可得出相等的邊與角，通過等腰三角形的性質及等量代換可得出∠EAF＝∠DEC，即可證明AF∥CE；（2）連接DF，證△AFD、△EDC相似，根據相似的性質可推出線段AF，EF，EC之間的數量關系；（3）根據（2）中的數量關系： ，先求出EC、EF的長，進而可求出AF的長.

（1）證明：由折疊矩形ABCD可得，EF＝ED，CF＝CD

∠DEC＝∠FEC，∠EFG＝∠EFC＝∠EDC＝90°

∵點E為AD的中點

∴AE＝ED＝EF

∴∠EAF＝∠EFA

∵∠DEF＝∠EAF＋∠EFA＝∠DEC＋∠FEC

∴∠EAF＝∠DEC

∴AF∥EC

（2）線段AF，EF，EC之間的數量關系為： ，理由如下：

連接DF交EC于P

∵EF＝ED， CF＝CD

∴E，C兩點都在線段DF的中垂線上，即EC⊥DF

∴∠DPE＝90°

∵AF∥EC

∴∠AFD＝∠DPE＝∠EDC＝90°

∵∠EAF＝∠DEC，∠AFD＝∠EDC

∴△AFD∽△EDC

∴，即

∴

（3）∵∠GAF＋∠EAF＝∠GFA＋∠EFA＝90°，∠EAF＝∠EFA

∴∠GAF＝∠GFA，∴AG＝FG

在Rt△BGC中，∵BC＝6，BG＝8

∴

∵AB＝CD＝CF，∴8＋AG＝10－FG，∴AG＝FG＝1，∴CF＝CD＝9

∵AD＝BC＝6，∴

∴在Rt△DEC中，

∵，∴，∴