Question

【題目】如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠A＝60°，點P為AD邊上任意一點，連接PB，并將PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PB′．

（1）當∠DP B′＝20°時，∠ABP＝____________；

（2）如圖2，連結BB′，點P從A運動到D的過程中，求△PBB′面積的取值范圍；

（3）若點B′恰好落在ABCD邊AD或BC所在的直線上時，直接寫出AP的長．（結果保留根號，不必化簡）

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1) 10°或50°;(2) S△PBB′ ;（3）AP=2.5或.

【解析】分析：

（1）根據題意需分點B′在平行四邊形ABCD外部和內部分別進行分析討論：①當點B′在平行四邊形外部時，如圖1，由題意易得∠BPB′=90°，結合∠DPB′=20°可得∠BPD=70°，由此可得∠APB=110°結合∠A=60°即可得到∠ABP=10°；②如圖2，當點B′在平行四邊形內部時，由題意易得∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，結合∠DPB=∠A+∠ABP即可求得∠ABP的度數；

（2）由題意可知△PBB′是等腰直角三角形，故當其直角邊最短時，其面積最小，而當其直角邊最長時，其面積最大，由①BP⊥AD時，PB最小；②PB與BD重合時，PB最大這兩種情況進行分析計算即可求得所求的取值范圍；

（3）畫出相應的圖形，結合已知條件進行分析解答即可.

詳解：

（1）由題意可知：存在點B′在平行四邊形ABCD外部和內部兩種情況，現分別討論如下：

①當點B′在平行四邊形ABCD外時，

∵∠DPB=∠B′PB﹣∠B′PD=90°﹣20°=70°，

∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=70°﹣60°=10°，

圖1

②當點B′在平行四邊形ABCD內時，

∵∠DPB=∠B′PB+∠B′PD=90°+20°=110°，

∴∠ABP=∠DPB﹣∠A=110°﹣60°=50°，

綜上所述，當∠DPQ=20°時，∠APB=10°或50°．

（2）①如圖3，顯然當BP⊥AD時，BP最小，

∵∠A=60°，AB=5，

∴AP=2.5，

∴此時BP最小=，

∴此時S△PBB′=

②如圖4，顯然當P與D重合時，BP最大。

過P點作PE⊥AB于點E，求得：PE=，BE=1，則BP=7.

∴此時S△PBB′=，

綜上：S△PBB′.

（3）AP=2.5或

①當點B′在AD上時，如圖3，由（2）可知，此時AP=2.5；

②當點B′在直線BC上時，如圖5，作BE⊥AD于點E，

∴∠AEB=∠PEB=90°，

∵∠A=60°，AD∥BC，

∴∠ABE=30°，∠CBE=120°，

∴AE=AB=2.5，BE=，∠CBE=90°，

∵△BPB′是等腰直角三角形，

∴∠CBP=45°，

∴∠PBE=45°，

∴PE=BE=，

∴AP=2.5+；

綜上所述，當點B′在直線AD或直線BC上時，AP的長為2.5或2.5+；