Question

【題目】如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′OP=r2 ， 則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”． 如圖2，⊙O的半徑為4，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點(diǎn)A′，B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，求A′B′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：設(shè)OA交⊙O于C，連結(jié)B′C，如圖2，
∵OA′OA=42 ，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′OB=42 ，
∴OB′=4，即點(diǎn)B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
而點(diǎn)A′為OC的中點(diǎn)，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，
∴A′B′=4sin60°=2 ．
【解析】設(shè)OA交⊙O于C，連結(jié)B′C，如圖2，根據(jù)新定義計(jì)算出OA′=2，OB′=4，則點(diǎn)A′為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和B′重合，再證明△OBC為等邊三角形，則B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定義可求A′B′的長(zhǎng)．