Question

【題目】【探索發現】

如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 ．

【拓展應用】

如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 ．（用含a，h的代數式表示）

【靈活應用】

如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積．

【實際應用】

如圖④，現有一塊四邊形的木板余料ABCD，經測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】【探索發現】；【拓展應用】；【靈活應用】720；【實際應用】1944．

【解析】

試題分析：【探索發現】：由中位線知EF=BC、ED=AB、由 =可得；

【拓展應用】：由△APN∽△ABC知，可得PN=a﹣PQ，設PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN═，據此可得；

【靈活應用】：添加如圖1輔助線，取BF中點I，FG的中點K，由矩形性質知AE=EH20、CD=DH=16，分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用【探索發現】結論解答即可；

【實際應用】：延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，繼而求得BE=CE=90，可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，利用【拓展應用】結論解答可得．

試題解析：【探索發現】

∵EF、ED為△ABC中位線，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四邊形FEDB是矩形，則 ===，故答案為：；

【拓展應用】

∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，∴PN=a﹣PQ，設PQ=x，則S矩形PQMN=PQPN=x（a﹣x）= =，∴當PQ=時，S矩形PQMN最大值為，故答案為：；

【靈活應用】

如圖1，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵∠FAE=∠DHE，AE=AH，∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI=（AB+AF）=24，∵BI=24＜32，∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，過點K作KL⊥BC于點L，由【探索發現】知矩形的最大面積為×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，答：該矩形的面積為720；

【實際應用】

如圖2，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中點Q在線段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中點P在線段CD上，∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，由【拓展應用】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH=1944cm2．

答：該矩形的面積為1944cm2．