Question

【題目】如圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．(友情提醒：正方形的四條邊都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四個內角都是90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°)

（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論；
（3）設AP為x，求出BE的長．(用含x的代數式表式)

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH∠EPB=∠EBC∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）解：△PHD的周長不變為定值8．

證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q.

由(1)知∠APB=∠BPH，

∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP，AB=BQ．

∵AB=BC，

∴BC=BQ．

∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．

∵EF為折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，

(4BE)2+x2=BE2．

解得：

【解析】（1）根據折疊的性質，由PE=BE，得到PE=BE，根據對邊對等角得到∠EBP=∠EPB，又∠EPH=∠EBC=90°，得到∠PBC=∠BPH；由AD∥BC，得到∠APB=∠BPH；（2）由(1)知∠APB=∠BPH，根據AAS得到△ABP≌△QBP；得到對應邊相等AP=QP，AB=BQ；由AB=BC，得到△BCH≌△BQH，得到CH=QH，求出△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD；（3）根據折疊的性質，得到△EFM≌△BPA，得到對應邊EM=AP，在Rt△APE中，根據勾股定理得到BE的代數式.