Question

【題目】在等邊三角形ABC中，點D是BC的中點，點E、F分別是邊AB、AC（含線段AB、AC的端點）上的動點，且∠EDF＝120°，小明和小慧對這個圖形展開如下研究：

問題初探：（1）如圖1，小明發現：當∠DEB＝90°時，BE+CF＝nAB，則n的值為　 　；

問題再探：（2）如圖2，在點E、F的運動過程中，小慧發現兩個有趣的結論：

①DE始終等于DF；②BE與CF的和始終不變；請你選擇其中一個結論加以證明．

成果運用:（3）若邊長AB＝8，在點E、F的運動過程中，記四邊形DEAF的周長為L，L＝DE+EA+AF+FD，則周長L 取最大值和最小值時E點的位置?

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②見解析；（3）周長L 取最大值時點E和點B重合或BE=4，取最小值時BE=2．

【解析】

（1）先利用等邊三角形判斷出BD=CD=AB，進而判斷出BE=BD，再判斷出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出結論；

（2）①構造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出結論；
②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出結論；

（3）由（1）（2）判斷出L=2DE+12，再判斷出DE⊥AB時，L最小，點F和點C重合時，DE最大，即可得出結論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵點D是BC的中點，
∴BD=CD=BC=AB，
∵∠DEB=90°，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，
在Rt△BDE中，BE=BD，
∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，
∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°，
∵∠C=60°，
∴∠DFC=90°，
在Rt△CFD中，CF=CD，
∴BE+CF=BD+CD=BC=AB，
∵BE+CF=nAB，
∴n=，
故答案為：；

（2）如圖，

①過點D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDG=∠FDH，
∵△ABC是等邊三角形，且D是BC的中點，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，
在△EDG和△FDH中，

，
∴△EDG≌△FDH（ASA），
∴DE=DF，
即：DE始終等于DF；
②同（1）的方法得，BG+CH=AB，
由①知，△EDG≌△FDH（ASA），
∴EG=FH，
∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，
∴BE與CF的和始終不變；

（3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB，
∵AB=8，
∴BE+CF=4，
∴四邊形DEAF的周長為L=DE+EA+AF+FD
=DE+AB-BE+AC-CF+DF
=DE+AB-BE+AB-CF+DE
=2DE+2AB-（BE+CF）
=2DE+2×8-4
=2DE+12，
∴DE最大時，L最大，DE最小時，L最小，
當DE⊥AB時，DE最小，L最小，

此時∠BDE=90°-60°=30°，

BE=BD=2，

當點F和點C重合或點E和點B重合時，DE最大，點F和點C重合時，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°，
∵∠B=60°，
∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴BE=DE=BD=AB=4，

當點E和點B重合時，DE=BD=4，周長L 有最大值，
即周長L 取最大值時點E和點B重合或BE=4，取最小值時BE=2．