Question

【題目】（2017江蘇省無錫市，第25題，10分）操作：“如圖1，P是平面直角坐標系中一點（x軸上的點除外），過點P作PC⊥x軸于點C，點C繞點P逆時針旋轉60°得到點Q．”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換．

（1）點P（a，b）經過T變換后得到的點Q的坐標為 ；若點M經過T變換后得到點N（6，），則點M的坐標為 ．

（2）A是函數圖象上異于原點O的任意一點，經過T變換后得到點B．

①求經過點O，點B的直線的函數表達式；

②如圖2，直線AB交y軸于點D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）（ ，）；（9，）；（2）①；②．

【解析】試題（1）連接CQ可知△PCQ為等邊三角形，過Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質可求得CD和QD的長，則可求得Q點坐標；設出M點的坐標，利用P、Q坐標之間的關系可得到點M的方程，可求得M點的坐標；

（2）①可取A（2，），利用T變換可求得B點坐標，利用待定系數示可求得直線OB的函數表達式；②由待定系數示可求得直線AB的解析式，可求得D點坐標，則可求得AB、AD的長，可求得△OAB的面積與△OAD的面積之比．

試題解析：（1）如圖1，連接CQ，過Q作QD⊥PC于點D，

由旋轉的性質可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∵P（a，b），

∴OC=a，PC=b，

∴CD=PC=b，DQ=PQ=b，

∴Q（a+b，b）；

設M（x，y），則N點坐標為（x+y，y），

∵N（6，﹣），

∴，解得，

∴M（9，﹣2）；

（2）①∵A是函數y=x圖象上異于原點O的任意一點，

∴可取A（2，），

∴2+×=，×=，

∴B（，），

設直線OB的函數表達式為y=kx，則k=，解得k=，

∴直線OB的函數表達式為y=x；

②設直線AB解析式為y=k′x+b，

把A、B坐標代入可得，解得，

∴直線AB解析式為y=﹣x+，

∴D（0，），且A（2，），B（，），

∴AB=，AD=，

∴．