Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形中，，，分別是，的中點，連接并延長交的延長線于，連接并延長交的延長線于．

（1）求證：；

（2）當平行四邊形中等于多少度時，四邊形是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當=45°時，四邊形是正方形，理由見解析

【解析】

（1）根據平行四邊形得到AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，根據線段中點的定義得到AE＝AB，CF＝CD，推出四邊形AECF是平行四邊形，得到四邊形AECF是矩形，根據全等三角形的判定定理得到結論；

（2）當=45°時，可得CE⊥AB，AE=EC，故可得到四邊形是正方形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，

∵E，F分別是AB，CD的中點，

∴AE＝AB，CF＝CD，

∴AE＝CF，

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC＝CB，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∴四邊形AECF是矩形，

∴∠BAN＝∠DCM＝90°，

在△ABN與△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM（ASA）；

（2）解：當∠B＝45°時，四邊形AECF是正方形，

理由：∵BC＝AC，

∴∠B＝∠BAC＝45°，

∵E是AB的中點，

∴CE⊥AB，

∴AE＝EC，

∴矩形AECF是正方形．