Question

已知，DE是等腰直角三角形ABC的中位線，將△BED沿AB翻折使E落在F處，如圖①，再將△ABC繞B點逆時針旋轉α°（0＜α＜90°），連接AF，DC，如圖②．
（1）觀察猜想，∠AFB與∠BDC大小關系______（直接出正確結論）；
（2）當α=30時，試判斷△BDC的形狀；
（3）在（2）的條件下，若DG=1，求DF的長．

Answer 1

（1）∵DE是等腰直角三角形ABC的中位線，將△BED沿AB翻折使E落在F處，
∴∠EDB=∠A=∠FDB=45°，∠DBE=∠DBF=90°，FD=DE，
∴FB=BE=BD，
∠CBD+∠ABD=90°，∠ABD+∠ABF=90°，
∴∠CBD=∠ABF，
在△CBD和△ABF中
∵

AB=BC ∠ABF=∠CBD BF=BD

，
∴△CBD≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠BDC．
故答案為：∠AFB=∠BDC；

（2）如圖②，延長BD至M使DM=BD，連接MC，則BM=2DB，
∵DE是等腰直角三角形ABC的中位線，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵BM=BC，BC=2BD，BC=2CE，BE=BD，
∴BC=BM，
∵∠CBE=30°，
∴∠DBC=60°，
∴△BMC為等邊三角形，
∴DC⊥BD，
∴△DCB直角三角形；

（3）設DB=a，∴BC=2a，
∴DC=

4a2-a2

=

3

a，
∴AF=

3

a，
∵∠AFB=∠BDC，
∴∠AFB=90°，
∴AF∥DB，
∴

DG

GF

=

DB

AF

=

a

3 a

=

3

3

，
∵DG=1，
∴FG=

3

，
∴DF=

3

+1．