Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P。

（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若OC＝CP，AB＝，求CD的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）連接AO，AC（如圖）．欲證AP是⊙O的切線，只需證明OA⊥AP即可；
（2）利用（1）中切線的性質在Rt△OAP中利用邊角關系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數的定義知AC=3，CD=．
試題解析：（1）證明：如圖，連結AO，AC.

∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC＝∠CAD＝90°.
∵E是CD的中點，
.
∴∠ECA＝∠EAC.
，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC.
∴∠ECA＋∠OCA＝90°.
∴∠EAC＋∠OAC＝90°.
即∠OAP＝90°
∴OA⊥AP.
∵A是⊙O上一點，
∴AP是⊙O的切線.
（2）解：由（1）知OA⊥AP.
在Rt△OAP中，∵∠OAP＝90°，OC＝CP＝OA，即OP＝2OA，
.
∴∠P＝30°.
∴∠AOP＝60°.
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝60°.
在Rt△BAC中，∵∠BAC＝90°，AB＝，∠ACO＝60°，
.
又∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠ACD＝90°－∠ACO＝30°，
.
考點: 1.切線的判定與性質；2.解直角三角形．