Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，E是梯形內一點，F是梯形外一點，∠EDC=∠FBC，DE=BF，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求證：CE=CF；
（2）當BE：CE=1：2，∠BEC=135°，求cos∠BFE的值．

Answer 1

分析：（1）過A作AP⊥CD于P，得出平行四邊形APCB，求出AP=BC=2，AB=CP=1，根據解直角三角形求出DP=1，求出DC=BC，根據SAS證△EDC≌△FBC即可；
（2）根據全等求出CE=CF，求出∠ECF=90°，求出∠CEF=45°，求出∠BEF=90°，根據勾股定理求出EF、BF在Rt△BEF中．解直角三角形求出即可．

解答：（1）證明：過A作AP⊥CD于P，
∵∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
∴AP∥BC，
∵AB∥CP，
∴四邊形APCB是平行四邊形，
∴AP=BC=2，AB=CP=1，
∵tan∠ACD=

AP

DP

=2，
∴DP=1，
∴DC=1+1=2=BC，
在△EDC和△FBC中
∵

DE=BF ∠EDC=∠FBC DC=BC

，
∴△EDC≌△FBC（SAS），
∴CE=CF；

（2）解：∵△FBC≌△EDC（已證）
∴∠BCF=∠DCE
又∵∠DCE+∠ECB=∠DCB=90°
∴∠BCF+∠ECB=90°，即CE⊥CF．
∴∠ECF=90°，∠CEF=∠CFE=45°，
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=135°-45°=90°，
設BE=a，則CF=CE=2a．
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF=2

2

a，
在Rt△BEF中，BF=

(2 2 a)2+a2

=3a，
故cos∠BFE=

EF

BF

=

2 2 a

3a

=

2 2

3

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，解直角三角形，勾股定理，直角梯形的性質，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質等知識點的綜合運用．