Question

【題目】（1）發現：如圖①，點A為一動點，點B和點C為兩個定點，且，（）．

填空：當點位于_______時，線段的長取得最小值，且最小值為_______（用含的式子表示）；

（2）如圖②應用：點為線段外一動點，且，，如圖2分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接、．

①請找出圖中與相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段長的最小值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點為線段OB外一動點，且，，，請求出的最小值并直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）線段BC上， ；（2）①，理由見解析；②；（3）

【解析】

（1）直接根據三角形三邊關系即可得出答案；

（2）①首先根據等邊三角形的性質得出，然后由全等三角形的性質即可得出答案；

②線段BE長度的最小值=線段CD長度的最小值，當點D在BC邊上時，CD最小，即可求出答案；

（3）在y軸上取點，連接，在點P所在的圓O上取一點 ，連接，依題意作，使，連接 ，首先利用相似三角形的性質得出點M在以為圓心的圓上運動， ，從而可求出OM的最小值，此時M在y軸上，通過全等三角形的性質得出，然后設，建立方程組即可求出此時P點的坐標．

（1），，，

∴當點A位于線段BC上時，線段AC的長取得最小值，且最小值為；

（2）①，理由如下：

∵都是等邊三角形，

∴ ，

，

即．

在和中，

，

；

②當點D在BC邊上時，CD最小，此時 ，

∵，

∴線段長的最小值為 ；

（3）在y軸上取點，連接，在點P所在的圓O上取一點 ，連接，依題意作，使，連接 ，

,

，

，，

∴ ，

，

．

同理，，

．

，

，

∴點M在以為圓心的圓上運動， ，

∴OM的最小值為 ．

如圖，此時M點在y軸上，設此時P點為，過點作軸于點E，延長 ，過點B作于點F，

∵ ，

．

，

．

在和中，

，

．

設，

解得

∴此時P的坐標為 ．