Question

【題目】如圖，已知，矩形ABCD中，F是對角線BD上一點，以F為圓心，FB為半徑作圓與邊AD相切于E，邊AB與圓F交于另一點G.

（1）若四邊形BGEF是菱形，求證：∠EFD=60o；

（2）若AB=15，AD=36，求AE的長；

（3）若BD與圓F交于另一點H，求證：.

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）AE=10；（3）詳見解析

【解析】

（1）根據菱形的性質得到△GEF和△BGF都是等邊三角形，根據等邊三角形的性質計算，得到答案；

（2）根據勾股定理求出BD，由△DEF∽△DAB，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；

（3）連BE，EH，分別證明△AGE∽△EHB和△DEH∽△DBE，根據相似三角形的性質證明結論．

解：（1）在菱形BGEF中，BG=GE=EF=FB

∵FG=FE=FB

∴△GEF和△BGF都是等邊三角形，

∴∠EFD=180°-60°-60°=60°；

（2）∵AB=15，AD=36，

∴DB=39

∵△DEF∽△DAB；設EF=BF=r，設AE=x,

∴

解得：

∴AE=10

（3）連BE，EH，

∵BH為直徑，

∴∠BEH=90°，

∴∠BEH=∠EAG，

∵四邊形GBHE是圓內接四邊形，

∴∠BHE=∠EGA，

∴△AGE∽△EHB，

∴

∵AD是圓的切線，

∴∠DEH=∠DBE，又∠EDH=∠BDE，

∴△DEH∽△DBE，

∴，

∴即.