Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作 EF∥AD，與AC、DC 分別交于點G，F，H為CG的中點，連結DE、 EH、DH、FH．下列結論：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，則．其中結論正確的有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】①根據題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，則EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS證明△EHF≌△DHC即可；
③根據△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，從而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；
④若=，則AE=2BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，設HM=x，則DM=5x，DH=，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．

①∵四邊形ABCD為正方形,EF∥AD，

∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，

∴△CFG為等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EFGF，DF=CDFC，

∴EG=DF，故①正確；

②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，

∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正確；

③∵△EHF≌△DHC(已證)，

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正確；

④∵=，

∴AE=2BE，

∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=GH,∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，

∴△EGH≌△DFH(SAS)，

∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,

∴△EHD為等腰直角三角形，

如圖，過H點作HM⊥CD于M，

設HM=x,則DM=5x,DH=，CD=6x，

則S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2，

∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確；

故選：D.