Question

如圖，矩形ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＡＣ與ＢＤ的交點，過點Ｏ的直線ＥＦ與ＡＢ、ＣＤ的延長線分別交于點Ｅ、Ｆ．
（1）求證：△ＢＯＥ≌△DOF；
（2）當EF與AC滿足什么條件時四邊形ＡＥＣＦ是菱形，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AC和BD交于點O
∴AB∥CD; OB=OD   
∴∠OEB=∠OFD  
∵∠BOE=∠DOF     
∴△BOE≌△DOF  
(2)解：當EF與AC垂直的時候四邊形AECF是菱形。
證明如下：
∵△BOE≌△DOF   
∴ BE="DF"
∵ AB=CD
∴AE=CF且AE∥CF
又∵EF⊥AC
∴ 四邊形AECF是菱形

（1）由矩形的性質：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；
（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．根據已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形，當EF⊥AC，可根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．