Question

【題目】探究：如圖①，在四邊形中，，，于點．若，求四邊形的面積．

應用：如圖②，在四邊形中，，，于點．若，，，則四邊形的面積為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

探究：過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，先判定四邊形AFCE為矩形，根據矩形的四個角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角邊”證明△AFB和△AED全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AF，從而得到四邊形AFCE是正方形，然后根據正方形的面積公式列計算即可得解；

應用：過點A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，根據同角的補角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=AE，再根據S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD列式計算即可得解．

解：探究：如圖①，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F，

∵AE⊥CD，∠BCD=90°，

∴四邊形AFCE為矩形，

∴∠FAE=90°，

∴∠FAB+∠BAE=90°，

∵∠EAD+∠BAE=90°，

∴∠FAB=∠EAD，

∵在△AFB和△AED中，

，

∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=AE，

∴四邊形AFCE為正方形，

∴S四邊形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100；

應用：如圖，過點A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，

則∠ADF+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADF，

∵在△ABE和△ADF中，

,

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴AF=AE=19，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD

=BCAE+CDAF

=×10×19+×6×19

=95+57

=152．

故答案為：152．