Question

【題目】如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是邊AC上一點（D與A、C不重合），過點A作AE垂直AC，求滿足AE=CD，聯結DE交邊AB于點F.

（1）試判斷△DBE的形狀，并證明你的結論.

（2）當點D在邊AC上運動時，四邊形ADBE的面積是否發生變化？若不變，求出四邊形ADBE的面積；若改變，請說明理由.

（3）當△BDF是等腰三角形時，請直接寫出AD的長.

Answer 1

【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，證明見解析；（2）不變；2；（3）或2．

【解析】

（1）根據在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出結論；

（2）根據（1）中△CBD≌△ABE可知四邊形ADBE的面積不變，再由三角形的面積公式即可得出結論；

（3）分兩種情況分別討論即可求得．

（1）△DBE是等腰直角三角形．

理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2，

∴∠CAB=∠ACB=45°．

∵AE⊥AC，

∴∠EAC=90°，

∴∠BAE=45°．

在△CBD與△ABE中，

∵，

∴△CBD≌△ABE（SAS），

∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，

∵∠CBD+∠ABD=90°，

∴∠ABE+∠ABD=90°，

即∠BDE=90°，

即△DBE是等腰直角三角形；

（2）不變．

∵由（1）知△CBD≌△ABE，

∴S四邊形ADBE=S△ABC=×2×2=2；

（3）當BF=DF時，則∠BDE=∠FBD，

∵△DBE是等腰直角三角形，

∴∠BDE=45°，

∴∠FBD=45°

∴∠CBD=45°，

∴∠CBD=∠ABD，

∴AD=CD，

∴AD=AC，

∵AB=BC=2，

∴AC=2

∴AD=；

當BD=DF時，

∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形，

∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°，

∴∠C=∠BDE，

∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA，

∴∠CDB=∠ADF，

在△BCD和△DAF中

∴△BCD≌△DAF（AAS），

∴AD=BC=2．

∴當△BDF是等腰三角形時，AD的長為或2．