Question

【題目】定義：如圖（1），若分別以△ABC的三邊AC，BC，AB為邊向三角形外側作正方形ACDE，BCFG和ABMN，則稱這三個正方形為△ABC的外展三葉正方形，其中任意兩個正方形為△ABC的外展雙葉正方形．
（1）作△ABC的外展雙葉正方形ACDE和BCFG，記△ABC，△DCF的面積分別為S1和S2 ． ①如圖（2），當∠ACB=90°時，求證：S1=S2 ．
②如圖（3），當∠ACB≠90°時，S1與S2是否仍然相等，請說明理由．
（2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作其外展三葉正方形，記△DCF，△AEN，△BGM的面積和為S，請利用圖（1）探究：當∠ACB的度數發生變化時，S的值是否發生變化？若不變，求出S的值；若變化，求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵正方形ACDE和正方形BCFG，

∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠DCF=90°，

∴∠ACB=∠DCF=90°．

在△ABC和△DFC中，

，

∴△ABC≌△DFC（SAS）．

∴S△ABC=S△DFC，

∴S1=S2

②S1=S2．理由如下：

解：如圖3，過點A作AP⊥BC于點P，過點D作DQ⊥FC交FC的延長線于點Q．

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，

∴AC=CD，BC=CF，

∵∠ACP+∠ACQ=90°，∠DCQ+∠ACQ=90°．

∴∠ACP=∠DCQ．

在△APC和△DQC中

，

∴△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

∴BC×AP=DQ×FC，

∴ BC×AP= DQ×FC

∵S1= BC×AP，S2= FC×DQ，

∴S1=S2

（2）由（2）得，S是△ABC面積的三倍，

要使S最大，只需三角形ABC的面積最大，

∴當△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°時，S有最大值．

此時，S=3S△ABC=3× ×3×4=18

【解析】（1）由正方形的性質可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，就可以得出△ABC≌△DFC而得出結論；（2）如圖3，過點A作AP⊥BC于點P，過點D作DQ⊥FC交FC的延長線于點Q，通過證明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出結論；（3）如圖 1，根據（2）可以得出S=3S△ABC ， 要使S最大，就要使S△ABC最大，當∠AVB=90°時S△ABC最大，就可以求出結論．