Question

（2011•紹興縣模擬）已知菱形OABC中，A（0，5），B（3，1），連接AC交x軸于M，線段OA上有一動點P，以每秒1個單位的速度從點O出發向線段的另一端點A運動，到點A后停止運動，運動時間為t秒，過P作PE⊥AC交AB于E，連接PB、BM（如圖1）
（1）寫出點C、M的坐標；
（2）證明△BME為直角三角形？
（3）連接PB，若∠PBM=∠OAB，求tan∠ABP的值；
（4）如圖2，若在線段OC上有一點Q與點P同時從點O出發，以相同的速度向點C運動．問是否存在t的值，使△PQE為等腰三角形，若存在，求出運動時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）C與B的橫坐標相等，則C的橫坐標等于B的橫坐標，若過B作y軸的垂線于X，在直角△ABX中，利用勾股定理即可求得AB的長，則BC的長度可以求得，從而求得C的縱坐標；
然后利用待定系數法即可求得AC的解析式，進而求得M的坐標；
（2）根據AC是菱形OABC的對稱軸，根據對稱性可以證得∠EBM=∠AOM=90，即可得到△BME是直角三角形；
（3）根據對稱的性質，可以證得∠APB=90°，即可求得B的坐標．則利用正切函數的定義求解；
（4）根據對稱的性質可得：PE⊥AC，則∠QPB=90°，則若△PQE為等腰三角形，只可能是：PE=PQ．根據△APE∽△AOB和△OPQ∽△OAC，用t表示出PE，PQ的長，從而得到一個關于t的方程，即可求解．

解答：解：（1）C（3，-4），M（

5

3

，0）；
（2）△BME是直角三角形，
∵四邊形OABC是菱形，
∴直線AC是它的對稱軸．
∵PE⊥AC
∴點P和點E，點O與點B都關于AC對稱．
∴∠EBM=∠AOM=90°．
∴△BME是直角三角形．
（3）連接OE，
由對稱性得：∠PBM=∠EOM．
∵∠PBM=∠OAB，∠APB=∠AEO，
∴∠EOM=∠OAB
∵∠EOM+∠EOA=90°
∴∠OAB+∠EOA=90°
∴∠APB=∠AEO=90°．
∵B（3，1）
∴OP=1，從而AP=4
∴tan∠ABP=

4

3

．
（4）如圖2，連接OB，由題意知：OP=OQ，∠POB=∠QOB
∴OB⊥PQ
由四邊形OABC是菱形，知OB⊥AC，PQ∥AC．
∵PE⊥AC，
∴∠QPE=90°
△PQE為等腰三角形，只可能是：PE=PQ．
由△APE∽△AOB得：PE=

10 (5-t)

5

；
由△OPQ∽△OAC得：PQ=

3 10 t

5

；
∴

10 (5-t)

5

=

3 10 t

5

，
解得：t=

5

4

．
即：當t=

5

4

時，△PQE是等腰三角形．

點評：本題考查了菱形的性質，正確應用菱形是軸對稱圖形，利用軸對稱的性質是解題關鍵．