Question

（2011•紹興縣模擬）是否存在三邊為連續自然數的三角形，使得：
（1）最大角是最小角的兩倍（如圖1中，∠A=2∠B，且∠A為最大角，∠B為最小角）；
（2）最大角是最小角的三倍（如圖2中，∠A=3∠B，且∠A為最大角，∠B為最小角）；
若存在，求出該三角形三邊長；若不存在，請說明理由．（下列各圖供探索用）

Answer 1

分析：（1）設a＞c＞b，根據三角形的三邊是連續的自然數設a=n+1，c=n，b=n-1，然后根據正弦定理以及二倍角公式列式求出
cosB=

n+1

2(n-1)

，再利用余弦定理表示出cosB，然后解關于n的方程，如果n是大于1的正整數，則存在，否則不存在；
（2）同（1）的方法，先根據正弦定理以及三倍角公式列式并整理用n表示出sin²B，再根據sin²B是正數判斷不存在．

解答：解：（1）設∠A=2∠B，當a＞c＞b時，設a=n+1，c=n，b=n-1，（n為大于1的正整數），
根據正弦定理得

n+1

sinA

=

n-1

sinB

，
∵∠A=2∠B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴cosB=

n+1

2(n-1)

，
根據余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(n+1)2+n2-(n-1)2

2n(n+1)

=

n+4

2(n+1)

，
∴

n+1

2(n-1)

=

n+4

2(n+1)

，
解得n=5，
∴n-1=5-1=4，
n+1=5+1=6，
∴存在三邊 4、5、6，使最大角是最小角的兩倍；

（2）同（1）

n+1

sinA

=

n-1

sinB

，
∵∠A=3∠B，
∴sinA=sin3B=3sinB-4sin³B，
∴3-4sin²B=

n+1

n-1

，
整理得，4sin²B=3-

n+1

n-1

=

2-n

n-1

=-

n-2

n-1

，
∴sin²B=-

1

2(n-1)

，
∵n是大于1的正整數，sin²B是正數，
∴滿足條件的n值不存在，
故不存在三邊為連續自然數的三角形，使最大角是最小角的三倍．

點評：此題主要考查了正弦與余弦定理，熟記正弦定理與余弦定理，并準確寫出二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα與三倍角的正弦公式sin3α=3sinα-4sin³α是解題的關鍵．