Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點（不與A重合），過點P作AB的垂線交BC于點Q．
（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD與⊙O相切．理由如下：

連結OC，如圖，

∵OC=OB，

∴∠2=∠B，

∵DQ=DC，

∴∠1=∠Q，

∵QP⊥PB，

∴∠BPQ=90°，

∴∠Q+∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，

∴OC⊥CD，

而OC為⊙O的半徑，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：連接AC，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，cosB= = = ，

而BP=6，AP=1，

∴BC= ，

在Rt△BPQ中，cosB= = ，

∴BQ= =10，

∴QC=BQ﹣BC=10﹣ = ．

【解析】（1）連結OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；（2）連結AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據余弦的定義得cosB= = = ，可計算出BC= ，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB= = ，可計算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC進行計算即可．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理和解直角三角形，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．